Закон гука определение и формула. Обобщенный закон гука Обобщенный закон гука сопромат

При растяжении и сжатии стержня изменяются его длина и размеры поперечного сечения. Если мысленно выделить из стержня в недеформированном состоянии элемент длиной dx, то после деформации его длина будет равна dx { (рис. 3.6). При этом абсолютное удлинение по направлению оси Ох будет равно

а относительная линейная деформация е х определяется равенством

Поскольку ось Ох совпадает с осью стержня, вдоль которой действуют внешние нагрузки, назовем деформацию е х продольной деформацией, у которой в дальнейшем индекс будем опускать. Деформации в направлениях, перпендикулярных к оси, называются поперечными деформациями. Если обозначить через b характерный размер поперечного сечения (рис. 3.6), то поперечная деформация определяется соотношением

Относительные линейные деформации являются безразмерными величинами. Установлено, что поперечные и продольные деформации при центральном растяжении и сжатии стержня связаны между собой зависимостью

Входящая в это равенство величина v называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Этот коэффициент является одной из основных постоянных упругости материала и характеризует его способность к поперечным деформациям. Для каждого материала он определяется из опыта на растяжение или сжатие (см. § 3.5) и вычисляется по формуле

Как следует из равенства (3.6), продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные знаки, что является подтверждением очевидного факта - при растяжении размеры поперечного сечения уменьшаются, а при сжатии увеличиваются.

Для различных материалов коэффициент Пуассона различен. Для изотропных материалов он может принимать значения в пределах от 0 до 0,5. Например, для пробкового дерева коэффициент Пуассона близок к нулю, а для резины он близок к 0,5. Для многих металлов при нормальных температурах величина коэффициента Пуассона находится в пределах 0,25+0,35.

Как установлено в многочисленных экспериментах, для большинства конструкционных материалов при малых деформациях между напряжениями и деформациями существует линейная связь

Этот закон пропорциональности впервые был установлен английским ученым Робертом Гуком и называется законом Гука.

Входящая в закон Гука постоянная Е называется модулем упругости. Модуль упругости является второй основной постоянной упругости материала и характеризует его жесткость. Поскольку деформации являются безразмерными величинами, из (3.7) следует, что модуль упругости имеет размерность напряжения.

В табл. 3.1 приведены значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для различных материалов.

При проектировании и расчетах конструкций наряду с вычислением напряжений необходимо также определять перемещения отдельных точек и узлов конструкций. Рассмотрим способ вычисления перемещений при центральном растяжении и сжатии стержней.

Абсолютное удлинение элемента длиной dx (рис. 3.6) согласно формуле (3.5) равно

Таблица 3.1

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до х, получим

где и(х ) - осевое перемещение произвольного сечения (рис. 3.7), а С= и(0) - осевое перемещение начального сечения х = 0. Если это сечение закреплено, то и(0) = 0 и перемещение произвольного сечения равно

Удлинение или укорочение стержня равно осевому перемещению его свободного торца (рис. 3.7), величину которого получим из (3.8), приняв х = 1:

Подставив в формулу (3.8) выражение для деформации? из закона Гука (3.7), получим

Для стержня из материала с постоянным модулем упругости Е осевые перемещения определяются по формуле

Входящий в это равенство интеграл можно вычислить двумя способами. Первый способ заключается в аналитической записи функции а(х) и последующем интегрировании. Второй способ основан на том, что рассматриваемый интеграл численно равен площади эпюры а на участке . Вводя обозначение

Рассмотрим частные случаи. Для стержня, растягиваемого сосредоточенной силой Р (рис. 3.3, а), продольная сила./Vпостоянна по длине и равна Р. Напряжения а согласно (3.4) также постоянны и равны

Тогда из (3.10) получаем

Из этой формулы следует, что если напряжения на некотором участке стержня постоянны, то перемещения изменяются по линейному закону. Подставляя в последнюю формулу х = 1, найдем удлинение стержня:

Произведение EF называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии. Чем больше эта величина, тем меньше удлинение или укорочение стержня.

Рассмотрим стержень, находящийся под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 3.8). Продольная сила в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии х от закрепления, равна

Разделив N на F, получим формулу для напряжений

Подставляя это выражение в (3.10) и интегрируя, находим

Наибольшее перемещение, равное удлинению всего стержня, получим, подставив в (3.13)х = /:

Из формул (3.12) и (3.13) видно, что если напряжения линейно зависят отх, то перемещения изменяются по закону квадратной параболы. Эпюры N, о и и показаны на рис. 3.8.

Общая дифференциальная зависимость, связывающая функции и(х) и а(х), может быть получена из соотношения (3.5). Подставляя в это соотношение е из закона Гука (3.7), найдем

Из этой зависимости следуют, в частности, отмеченные в рассмотренных выше примерах закономерности изменения функции и(х).

Кроме того, можно заметить, что если в каком-либо сечении напряжения а обращаются в нуль, то на эпюре и в этом сечении может быть экстремум.

В качестве примера построим эпюру и для стержня, изображенного на рис. 3.2, положив Е- 10 4 МПа. Вычисляя площади эпюры о для различных участков, находим:

сечение х = 1 м:

сечение х = 3 м:

сечение х = 5 м:

На верхнем участке стержня эпюра и представляет собой квадратную параболу (рис. 3.2, е). При этом в сечении х = 1 м имеется экстремум. На нижнем участке характер эпюры является линейным.

Общее удлинение стержня, которое в данном случае равно

можно вычислить, воспользовавшись формулами (3.11) и (3.14). Поскольку нижний участок стержня (см. рис. 3.2, а) растягивается силой Р { его удлинение согласно (3.11) равно

Действие силы Р { передается также и на верхний участок стержня. Кроме того, он сжимается силой Р 2 и растягивается равномерно распределенной нагрузкой q. В соответствии с этим изменение его длины вычисляется по формуле

Суммируя значения А/, и А/ 2 , получим тот же результат, что приведен выше.

В заключение следует отметить, что, несмотря на малую величину перемещений и удлинений (укорочений) стержней при растяжении и сжатии, пренебрегать ими нельзя. Умение вычислять эти величины важно во многих технологических задачах (например, при монтаже конструкций), а также для решения статически неопределимых задач.

Закон Гука был открыт в XVII веке англичанином Робертом Гуком. Это открытие о растяжении пружины является одним из законов теории упругости и выполняет важную роль в науке и технике.

Определение и формула закона Гука

Формулировка этого закона выглядит следующим образом: сила упругости, которая появляется в момент деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно движению частиц этого тела относительно других частиц при деформации.

Математическая запись закона выглядит так:

Рис. 1. Формула закона Гука

где Fупр – соответственно сила упругости, x – удлинение тела (расстояние, на которое изменяется исходная длина тела), а k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. Сила измеряется в Ньютонах, а удлинение тела – в метрах.

Для раскрытия физического смысла жесткости, нужно в формулу для закона Гука подставить единицу, в которой измеряется удлинение – 1 м, заранее получив выражение для k.

Рис. 2. Формула жесткости тела

Эта формула показывает, что жесткость тела численно равна силе упругости, которая возникает в теле (пружине), когда оно деформируется на 1 м. Известно, что жесткость пружины зависит от ее формы, размера и материала, из которого произведено данное тело.

Сила упругости

Теперь, когда известно, какая формула выражает закон Гука, необходимо разобраться в его основной величине. Основной величиной является сила упругости. Она появляется в определенный момент, когда тело начинает деформироваться, например, когда пружина сжимается или растягивается. Она направлена в обратную сторону от силы тяжести. Когда сила упругости и сила тяжести, действующие на тело, становятся равными, опора и тело останавливаются.

Деформация – это необратимые изменения, происходящие с размерами тела и его формой. Они связанны с перемещением частиц относительно друг друга. Если человек сядет в мягкое кресло, то с креслом произойдет деформация, то есть изменятся его характеристики. Она бывает разных типов: изгиб, растяжение, сжатие, сдвиг, кручение.

Так как сила упругости относится по своему происхождению к электромагнитным силам, следует знать, что возникает она из-за того, что молекулы и атомы – наименьшие частицы, из которых состоят все тела, притягиваются друг другу и отталкиваются друг от друга. Если расстояние между частицами очень мало, значит, на них влияет сила отталкивания. Если же это расстояние увеличить, то на них будет действовать сила притяжения. Таким образом, разность сил притяжения и сил отталкивания проявляется в силах упругости.

Сила упругости включает в себя силу реакции опоры и вес тела. Сила реакции представляет особый интерес. Это такая сила, которая действует на тело, когда его кладут на какую-либо поверхность. Если же тело подвешено, то силу, действующую на него, называют, силой натяжения нити.

Особенности сил упругости

Как мы уже выяснили, сила упругости возникает при деформации, и направлена она на восстановление первоначальных форм и размеров строго перпендикулярно к деформируемой поверхности. У сил упругости также есть ряд особенностей.

• они возникают во время деформации;
• они появляются у двух деформируемых тел одновременно;
• они находятся перпендикулярно поверхности, по отношению к которой тело деформируется.
• они противоположны по направлению смещению частиц тела.

Применение закона на практике

Закон Гука применяется как в технических и высокотехнологичных устройствах, так и в самой природе. Например, силы упругости встречаются в часовых механизмах, в амортизаторах на транспорте, в канатах, резинках и даже в человеческих костях. Принцип закона Гука лежит в основе динамометра – прибора, с помощью которого измеряют силу.

Рассмотренные выше напряженное и деформированное состояния являются составляющими единой физической сущности - напряженно-деформированного состояния в точке тела.

При решении конкретных задач необходимо принимать в расчет физические соотношения, существующие между напряжениями и деформациями. В статически определимых задачах существует возможность найти напряжения без физических соотношений, используя только уравнения равновесия. В статически неопределимых задачах такая возможность отсутствует.

Зависимость между напряжениями и деформациями, как правило, устанавливается с помощью экспериментов, и ее сложность зависит от свойств материала. Для широко применяемых на практике изотропных материалов используются линейные зависимости, с помощью которых удается проводить расчеты при изменении напряжений в довольно широких пределах.

Проанализируем зависимость между компонентами напряженного и деформированного состояний в точке тела, используя принцип независимости действия сил. С этой целью вырежем из твердого тела элементарный параллелепипед (рис. 10.10).

Рис. 10.10.

Рассмотрим случай действия на элемент только касательного напряжения т гу/ (рис. 10.10, а). В этом случае прямой угол изменяется только в плоскостях, параллельных плоскости ху. Аналогично можем рассмотреть угловые перемещения, которые возникают от действия касательных напряжений x yz и x zv . В предположении о том, что материал изотропен и между касательными напряжениями и угловыми перемещениями существует линейная зависимость, приходим к соотношениям

где G - модуль упругости второго рода.

Проанализируем перемещения, вызываемые действием нормальных напряжений в направлении оси Ох (рис. 10.10, б). Обусловленная этим напряжением деформация в направлении оси Ох равна ct v /?, а в направлении двух других осей перемещения определяются с помощью коэффициента Пуассона v по формуле -vg v /?. Аналогично определяются деформации в направлении оси Ох от а у и а 2 . Окончательно суммированием деформаций по всем направлениям получим

При изменении температуры тела к правым частям соотношений (10.38) следует добавить величины аAt, где At - изменение температуры тела; а - коэффициент линейного температурного расширения изотропного материала. Что касается формул (10.37), то они останутся без изменений.

Соотношения (10.37) и (10.38) носят название обобщенного закона Гука для случая линейно-упругого изотропного материала.

При проведении расчетов полезными оказываются и обратные соотношения:

Отметим, что при выводе физических соотношений мы негласно предполагали, что направления главных напряжений и главных деформаций совпадают друг с другом. Данное предположение носит название условия соосности тензоров напряжений и деформаций.

В случае анизотропных материалов, свойства которых в различных направлениях отличаются, условие соосности не выполняется. Для упругих анизотропных материалов обобщенный закон Гука записывается в следующем виде:

Здесь a t - - постоянные упругости, которые выражают свойства материала. Введем обозначения

Тогда соотношения (10.40) можем представить в векторно-матричном виде:

где {а} и {е} - векторы, соответственно, напряжений и деформаций ; [А] матрица упругих свойств материала.

Для изотропного линейно-упругого материала из трех постоянных Е, G и v, как мы установили ранее, независимыми являются только две из них. Матрица упругих свойств такого материала выглядит следующим образом:

При записи обобщенного закона Гука для анизотропного материала (10.40) использовано 36 констант. Установим, сколько из этих величин являются независимыми. Рассмотрим два напряженных состояния (рис. 10.11).

Рис. 10.11.

Удлинение элемента в направлении у , обусловленное напряженным состоянием первого направления (рис. 10.11, а), равно dA vl/ = a 2 p x dy. Аналогично определяется удлинение элемента в первом направлении, обусловленное вторым напряженным состоянием (рис. 10.11, б): dA f/x = a x p y dx.

Согласно принципу взаимности работ

откуда следует, что я |2 = а 21 .

Аналогичным образом можно получить еще 14 равенств a:j = a jt , i,j = 1, 2,..., 6, i * j. Матрица податливости материала А является симметричной. Таким образом, для анизотропных материалов из 36 характеристик независимыми являются только 21.

При анализе композитных материалов приходится иметь дело с частными случаями анизотропии. Распространенным является случай ортотроп- ного материала, характеризуемый симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных осей. Примером такой анизотропии является древесина. Упругие свойства ортотропной среды описываются девятью независимыми постоянными:

где по свойству симметрии

Упругие постоянные композитных материалов в большинстве случаев определяются экспериментально.

• Запись напряжений и деформаций в виде векторных величин носит формальный характер и вводится для удобства.

Наблюдения показывают, что для большинства упругих тел, таких, как сталь, бронза, дерево и др., величины деформаций пропорциональны величинам действующих сил. Типичный пример, поясняющий это свойство, представляют пружинные весы, у которых удлинение пружины пропорционально действующей силе. Это видно из того, что шкала делений у таких весов равномерна. Как общее свойство упругих тел закон пропорциональности между силой и деформацией был впервые сформулирован Р. Гуком в 1660 г. и опубликован в 1678 г. в сочинении «De potentia restitutiva». В современной формулировке этого закона рассматривают не силы и перемещения точек их приложения, а напряжение и деформацию.

Так, для чистого растяжения полагают:

Здесь - относительное удлинение любого отрезка, взятого в направлении растяжения. Например, если ребра изображенной на рис. 11 призмы до приложения нагрузки были а, b и с, как показано на чертеже, а после деформации они будут соответственно , тогда .

Постоянная Е, имеющая размерность напряжения, называется модулем упругости, или модулем Юнга.

Растяжение элементов, параллельных действующим напряжениям о, сопровождается сокращением перпендикулярных элементов, то есть уменьшением поперечных размеров стержня (на чертеже - размеры ). Относительная поперечная деформация

будет величиной отрицательной. Оказывается, что продольная и поперечная деформации в упругом теле связаны постоянным отношением:

Безразмерная величина v, постоянная для каждого материала, называется коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Сам Пуассон, исходивший из теоретических соображений, которые оказались впоследствии неверными, считал, что для всех материалов (1829). На самом деле значения этого коэффициента различны. Так, для стали

Заменяя в последней формуле выражением получим:

Закон Гука не является точным законом. Для стали отклонения от пропорциональности между незначительны, тогда как чугун или резнна явно этому закону не подчиняются. Для них причем может быть аппроксимирована линейной функцией разве лишь в самом грубом приближении.

В течение долгого времени сопротивление материалов занималось лишь материалами, подчиняющимися закону Гука, и приложение формул сопротивления материалов к другим телам можно было делать только с большой натяжкой. В настоящее время нелинейные законы упругости начинают изучаться и применяться к решению конкретных задач.

Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.

Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид

При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения

Рис.1. Одноосное напряженное состояние

Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.

Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :

При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

С учетом формул (1 — 4) получим

Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.

Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и — соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).

Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:

Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.

В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна

Для малых деформаций

С учетом этих соотношений

До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь

Из обобщенного закона Гука (5) получим

Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

В итоге получим

Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату

Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом, получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:

Предельное значение приводит к предельному значению , что соответствует несжимаемому материалу ( при ). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде

С использованием равенства (9) будем иметь

Аналогичные соотношения можно вывести для и . В результате получим

Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует сила . Эта сила совершает работу на перемещении . При увеличении напряжения от нулевого уровня до значения соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля до значения , а работа пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади: . Если пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования: . Величина Ф=dU / dV называется удельной потенциальной энергией деформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния